泰勒定理

对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。

f(a+h)=f(a)+f‘(a)h+o(h)f(a+h) = f(a) + f^`(a)h +o(h)

其中 o(h)o(h) 是比 hh 高阶的无穷小。也即 f(a+h)≈f(a)+f‘(a)hf(a+h) \approx f(a) + f^`(a)h 。

f(x)≈f(a)+f‘(a)(x−a)f(x) \approx f(a) + f^`(a)(x-a) 。

综上，可以将定理描述为：

设 nn 是一个正整数，如果定义在一个包含 aa 的区间上的函数 ff 在 aa 点处 n+1n+1 阶可导，那么对于这个区间上的任意 xx ，都有：

f(x)=f(a)+f‘(a)1!(x−a)+f(2)(a)2!(x−a)2+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+Rn(x)f(x) = f(a) + \frac{f^`(a)}{1!}(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)

其中， Rn(x)R_n(x) 的表示有下面几种：

  • 皮亚诺余项

    Rn(x)=o[(x−a)n]R_n(x) = o[(x-a)^n]

  • 拉格朗日余项

    Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−a)(n+1)R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}

  • 积分型余项

    Rn(x)=∫axf(n+1)(t)n!(x−t)ndtR_n(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n dt